Geometria 1

Primo appello, sessione autunnale, 1998/99

9 settembre 1999

Esercizio 1    Siano dati in $\mathbb R^2$ i punti P=(0,1), Q=(0,0) e le rette L di equazione $\{x-y=1\}$ e M di equazione $\{y=\sqrt 2\}$. Si dimostri che d(P,L)=d(Q,M). Si costruisca un'isometria $\varphi$ tale che $\varphi(P)=Q$ e $\varphi(L)=M$ e se ne discuta l'unicità.
Soluzione

Esercizio 2    Sia r la retta in $\mathbb R^3$ di equazioni

$$\left\{\begin{array}{l} x+z=2\\ y-2z=1 \end{array}\right.$$

Si determini un vettore direzione di r. Fra i piani contenenti la retta r si trovi, se esiste:

1) un piano passante per P=(1,3,1);

2) un piano parallelo alla retta $s=\{(1,1,1)+t(-1,2,-2)\mid t\in\mathbb R\}$;

3) un piano perpendicolare alla retta s.

Si discuta l'unicità dei piani trovati.
Soluzione

Esercizio 3    Siano dati i quattro punti

$$P_1=(0,0)\qquad P_2=(0,2) \qquad P_3=(1,0) \qquad P_4=(1,1).$$

Si determini il fascio delle coniche per P₁,P₂,P₃ e P₄. Si dica se nel fascio ci sono delle parabole e in tal caso quali sono. Si dica se nel fascio ci sono delle circonferenze e in tal caso quali sono.
Soluzione

Esercizio 4    Sia V lo spazio vettoriale dei polinomi in una variabile di grado minore o uguale a 2. Si consideri il prodotto scalare definito da

$$\langle P,Q\rangle=P(1)Q(1)+P(-1)Q(-1)-4P(0)Q(0).$$

Si dimostri che è non degenere, e si trovi una base ortogonale di Vrispetto a tale prodotto.
Soluzione

Esercizio 5    Sia $V=U\oplus W$ uno spazio vettoriale con un prodotto scalare $\langle,\rangle$. Supponiamo inoltre di sapere che, per ogni $u\in U$ e $w\in W$, si ha $\langle u,w\rangle=\langle w,w\rangle=0$ e che $\langle u,u\rangle> 0$ se $u\ne 0$.

(i) Si dimostri che $\langle,\rangle$ su V è semidefinito positivo.

(ii) Si dimostri che se $w_1,w_2\in W$ allora $\langle w_1,w_2\rangle=0$. Suggerimento: si consideri $\langle w_1+w_2,w_1+w_2\rangle$.

(iii) Si dimostri che

$$V^{\perp}=W.$$

Soluzione