Matematica Discreta (I modulo)

Secondo appello, a.a. 1998/99

7 luglio 1999

Da svolgersi in tre ore, senza l'ausilio di appunti e/o libri.

Si ricorda che, anche se non esplicitamente richiesto nei testi, tutte le risposte alle domande devono essere adeguatamente motivate con dimostrazioni o confutazioni.

Esercizio 1   Si determini l'insieme delle soluzioni del sistema di congruenze:

$$\left\{ \begin{array}{ll} x \cong 165 &\quad{\rm mod}\ 164 \\ x \cong 79 &\quad{\rm mod}\ 75 \end{array} \right.$$

Soluzione

Esercizio 2   Si determini la soluzione dell'equazione ricorsiva lineare

$$x_{n+2}=2x_{n+1}-2x_n$$

con dati iniziali $x_0=2$ e $x_1=2$.
Soluzione

Esercizio 3   Sia $G=\{\alpha\in \mathbb{C}\mid \exists n\in\mathbb{N}-\{0\} : \alpha^n =1\}$. Si provi che $(G,\cdot)$ è un gruppo.
Soluzione

Esercizio 4   Sia $(B,\vee ,\wedge ,',0,1)$ un'algebra di Boole; un elemento $a\in B$ si dice un atomo se

$$a \ne 0 \quad\hbox{\rm { e }}\quad a = b \vee c \Rightarrow b = a \hbox{\rm { oppure }} c = a.$$ (1)

1. Si provi che $a$ è un atomo se e solo se
   

   $$a \ne 0 \quad\hbox{\rm { e }}\quad b \le a \Rightarrow b=0 \hbox{\rm { oppure }} b=a.$$ (2)

   
   
   essendo $\le$ l'ordinamento parziale indotto dalla struttura di algebra di Boole.
2. Si usi il punto precedente per provare che se $B$ è un'algebra di Boole finita allora possiede atomi e se ne calcoli il numero in funzione del numero di elementi di $B$.

Soluzione

Esercizio 5   Si consideri l'insieme

$$A = \Big\{ \Big( \begin{array}{cc} a & b \\ 4b & a \end{array} \Big) \Bigm\vert a,b\in\mathbb{Q}\Big\}$$

Si dica, motivando la risposta, se con le operazioni di somma e prodotto di matrici

1. $A$ è un anello.
2. $A$ è commutativo.
3. $A$ è un dominio d'integrità.
4. $A$ è un campo.

Soluzione