Insiemi, funzioni e cardinalità

Esercizio 1.1   Si dimostri che:

$$(( A \subset B)\ e\ (B \subseteq C)) \Rightarrow A \subset C.$$

Con $A\subset B$ si intende $A \subseteq B$ ma $A \not= B$.

Esercizio 1.2   Si dimostri che $(A \bigtriangleup B = \emptyset ) \Leftrightarrow (A=B).$

Esercizio 1.3   Siano A e B due insiemi e sia $X = A \cup B,\ C = A \cap B .$ Supponiamo che gli insiemi $C,\ A-B, B-A,$ siano non vuoti. Quali delle seguenti affermazioni è vera?

• $B \not\subseteq C$;
• $(A-B) \cap C =\emptyset$;
• $(B-A) \cap A \subseteq C.$

Esercizio 1.4   Descrivere l'insieme dato dalla differenza simmetrica dei seguenti insiemi:

$$A:= \{ x \in \mathbb{Z} \vert x \geq 0 \}$$

,

$$B:= \{ 2x \vert x \in \mathbb{Z}\}$$

.

Esercizio 1.5   Sia $f: \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definita da

f(m,n)=mn +m+n.

È vero che f è iniettiva?
È vero che f è suriettiva?
Trovare f^-1(4).

Esercizio 1.6   Sia $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ l'applicazione definita da f(n) =4n +1. Dire se f è iniettiva e/o suriettiva. Trovare $f(f^{-1} (\{ 1, \ 2, \ 3, \ 4,\ 5 \} ))$. Esiste $g: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tale che $f \circ g = id_{\mathbb{Z} } ?$

Esercizio 1.7   Sia $f: A \rightarrow B$ un'applicazione e X e Y sottinsiemi di A, mostrare che $f(X \cup Y) = f(X) \cup f(Y)$ e che $f(X \cap Y ) \subseteq f(X) \cap f(Y)$. Si mostri che se f è iniettiva si ha che $f(X\cap Y) = f(X) \cap f(Y)$.

Esercizio 1.8   Dati $a,\ b \in \mathbb{Z}$ si consideri l'applicazione $f: \mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ definita da f(x) =ax +b; si determini per quali valori di a e b l'applicazione è biiettiva.

Esercizio 1.9   Sia $A= \{ 3n \vert n \in N \}$ un sottinsieme di $\mathbb{N}$. Dimostrare che $\vert A\vert =\vert \mathbb{N} \vert.$ Dimostrare che il complementare di A in $\mathbb{N}$ è equipotente a $\mathbb{N}$.

Esercizio 1.10   Si consideri l'insieme $P= \{ X \vert X \subseteq \mathbb{N}\}$, mostrare che $\vert P\vert = \vert\mathbb{N} ^{\mathbb{N} }\vert$.

Esercizio 1.11   Mostrare che gli intervalli $(0,\ 1) \subset \mathbb{R}$ e $(0,\ 3) \subset \mathbb{R}$ sono equipotenti.

Esercizio 1.12   Siano X e Y insiemi finiti e siano $x_0 \in X$ e $y_0 \in Y.$ Si determini in funzione delle cardinalità di X e Y la cardinalità dei seguenti insiemi:

$$H := \{ h \in Y^X \vert h(x_0) = y_0 \}$$

,

$$K:= \{ h \in H \vert h \ iniettiva \}.$$

Esercizio 1.13   Siano $X,\ Y,\ Z,\ K,$ insiemi finiti a due a due disgiunti, calcolare $\vert X^{Y\cup Z \cup K} \vert$.

Esercizio 1.14   Sia A un insieme e sia $f: A \rightarrow\mathbb{N}$ un'applicazione iniettiva, si risponda ai seguenti quesiti:

1.

Sapendo che $f(A) =\{1,\ 2,\ 3 \}$ cosa posso dire della cardinalità di A?

2.

Sapendo che f(A) è un sottinsieme proprio di $\mathbb{N}$, cosa posso dire della cardinalità di A?

Esercizio 1.15   Si consideri l'insieme $A= \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\}$. Determinare il numero dei sottinsiemi di A. Sia $B= \{ 7,\ 8 \}$, determinare la cardinalità di A^B e di B^A. Sia $C= \{ 10,\ 11,\ 12\}$, determinare $\vert C^{A\cup B}\vert$.