Esercizi su insiemi, funzioni, calcolo combinatorio

a cura di Michela Pagliacci

I seguenti esercizi sono riferiti agli argomenti svolti nelle lezioni di esercitazione del 2.05.2002 e del 9.05.2002

1. Siano $A$ e $B$ insiemi. Dimostrare che:
   $A\subseteq B \Rightarrow (B\setminus A)\cap A=\emptyset$ e $(B\setminus A)\cup A=B$.
2. Siano $A$, $B$, $C$ insiemi. Dimostrare che:
   $A\cap B=\emptyset$ e $A\cup B=C \Rightarrow A=C\setminus B$.
3. Dati $\mathbb{Z}^{-}=\{z\in \mathbb{Z}: z<0\}$, l'insieme degli interi negativi, e $2\mathbb{Z}:=\{z\in \mathbb{Z}: z \; \textrm{\\lq e pari}\}$, l'insieme degli interi pari, calcolare $\mathbb{Z}^{-} \bigtriangleup 2\mathbb{Z}$.
4. Siano $A$ e $B$ insiemi. Posto $C=A\bigtriangleup B$ dire qual è l'insieme $C\bigtriangleup A$ e fornire una dimostrazione della risposta.
5. Dati due insiemi $A$ e $B$, dimostrare l'uguaglianza: $A\times B=\bigcup_{a\in A}(\{a\}\times B)$ e che gli insiemi del tipo $\{a\}\times B$ sono a due a due disgiunti.

6. Dati $A$ un insieme di cardinalità $n$ e $B$ un insieme di cardinalità $m$ e supposto che $m\leq n$, cosa si può dire su $\vert A\cap B\vert$?
7. Considerati due insiemi finiti $A$ e $B$ tali che $\vert A\vert=4$ e $\vert B\vert=7$, risolvere i seguenti quesiti:

   (a)

   Quali tra i numeri $4,7,8,9,11,13,20$ potrebbero essere uguali ad $\vert A\cup B\vert$?

   (b)

   Sono di più le funzioni da $A$ a $B$ o quelle da $B$ ad $A$? Motivare la risposta.

   (c)

   Calcolare il numero di funzioni iniettive di $B^A$ ed il numero di funzioni iniettive di $A^B$.

   (d)

   Posto che $\vert A\cap B\vert=1$, calcolare il numero di sottinsiemi di cardinalità 3 di $A\cup B$.

8. Sia $X$ un insieme di cardinalità 8 ed $A\subset X$ tale che $\vert A\vert=4$. Calcolare:

   (a)

   Il numero di sottinsiemi propri di $X$ disgiunti da $A$.

   (b)

   Il numero di sottinsiemi di $X$ che contengono $A$.

   (c)

   Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune esattamente un elemento con $A$.

   (d)

   Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune esattamente 3 elementi con $A$.

   (e)

   Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune 2 elementi con $A$.

   (f)

   Il numero di sottinsiemi di $X$ che non sono disgiunti da $A$.

9. Sia $f: \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\rightarrow \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ una funzione iniettiva.

   (a)

   Cosa si può dire su $\vert f^{-1}(0)\vert$?

   (b)

   E su $\vert f^{-1}(\{0,8\})\vert$?

   (c)

   Quante sono le $f$ iniettive che si possono costruire tra questi due insiemi?

   (d)

   Quante sono le $f$ iniettive che si possono costruire con la proprietà che $f(1)=3$?

10. Sia $g: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Z}$ la funzione definita da $$g(n)= \begin{cases} n/2, & \text{se $n$ \\lq e pari}\\ (n+1)/2, & \text{se $n$ \\lq e dispari}\ \end{cases}$$ Studiare l'iniettività e la suriettività di $g$. Dire se esiste $f$ tale che $g\circ f=1_\mathbb{Z}$. Sia $A= \{1,2,4\}$ calcolare $g^{-1}(g(A))$ e dire se coincide con $A$.

11. Sia $f: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ la funzione definita da $$f(n)= \begin{cases} \sqrt{n}, & \text{se $n$ \\lq e un quadrato perfetto}\\ n, & \text{altrimenti}\ \end{cases}$$ Studiare l'iniettività e la suriettività di $f$. Se $g: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ è definita da $g(n)=n^2$, è vero che $g \circ f=1_\mathbb{N}$? Trovare, se esiste, una funzione $\psi: \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ tale $f \circ \psi=1_\mathbb{N}$. Sia $A= \{3,4,16\}$ calcolare $f^{-1}(f(A))$ e dire se coincide con $A$. Se $B=\{2,3,16\}$ che cosa si può dire di $f(A\cap B)$ in relazione a $f(A)$ e $f(B)$?

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