Soluzione di alcuni degli esercizi della prima serie

1.4

Siano $A$ e $B$ insiemi e $C=A\bigtriangleup B$. Allora risulta che $C\bigtriangleup A=B$.
Applicando definizione e proprietà della differenza simmetrica una dimostrazione possibile è la seguente:
$C\bigtriangleup A=C\cup A\setminus(C\cap A)=(A\setminus B \cup B\setminus A)\c... ...\;\cup \;(B\setminus A\cap A)=A\cup B\setminus (A\setminus B \cup \emptyset)=B.$

1.7

Siano $A$ e $B$ tali che $\vert A\vert=4$ e $\vert B\vert=7$.

(a)

Quali tra i numeri $4,7,8,9,11,13,20$ potrebbero essere uguali ad $\vert A\cup B\vert$?
La cardinalità dell'unione di due insiemi finiti è data da

$$\vert A\cup B\vert=\vert A\vert+\vert B\vert-\vert A\cap B\vert.$$

Si noti che $\vert A\cap B\vert\in \{0,1,2,3,4\}$ da cui, applicando la formula segue che $\vert A\cup B\vert\in \{7,8,9,10,11\}$ e quindi la risposta.

(b)

Sono più le funzioni da $A$ a $B$ o quelle da $B$ ad $A$? Motivare la risposta.
Le funzioni da $A$ a $B$ sono gli elementi di $B^A$ e sono meno di quelle da $B$ ad $A$, infatti: $\vert B^A\vert=\vert B\vert^\vert A\vert=7^4<\vert A^B\vert=4^7$.

(c)

Calcolare il numero di funzioni iniettive di $B^A$ ed il numero di funzioni iniettive di $A^B$.
Le funzioni iniettive di $B^A$ sono $\frac{7!}{(7-4)!}=840$
Le funzioni iniettive di $A^B$ sono 0 essendo $\vert B\vert>\vert A\vert$.

(d)

Posto che $\vert A\cap B\vert=1$, calcolare il numero di sottinsiemi di cardinalità 3 di $A\cup B$.
Se $\vert A\cap B\vert=1$ allora $\vert A\cup B\vert=10$, (segue dal punto (a)).
Il numero di sottinsiemi di cardinalità 3 di $A\cup B$ è $\left({10\atop 3}\right)=120$

1.8

Sia $X$ un insieme di cardinalità 8 ed $A\subset X$ tale che $\vert A\vert=4$.

(a)

Il numero di sottinsiemi propri di $X$ disgiunti da $A$ è uguale al numero dei sottinsiemi di $X\setminus A$ meno l'insieme vuoto, ovvero $2^{4}-1=15$.

(b)

Il numero di sottinsiemi di $X$ che contengono $A$ si può ottenere considerando che $\{ Y\in 2^{X}:A\subseteq Y\}$ è in biiezione con $\{Z\in 2^{X\setminus A}\}$, basta osservare che se $Y\in 2^{X}$, allora $Y\setminus A \in 2^{X\setminus A}$. Tale numero è $2^{4}$.

(c)

Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune esattamente un elemento con $A$, si ottiene considerando che questi sottinsiemi si possono costruire prendendo un sottinsieme di $X$ disgiunto da $A$ ed aggiungendo un elemento di $A$, dunque in totale sono $\left({4\atop 1}\right)(2^{4}) =64$.

(d)

Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune esattamente 3 elementi con $A$ è $\left({4\atop 3}\right)(2^{4}) =64$.

(e)

Il numero di sottinsiemi di $X$ che hanno in comune 2 elementi con $A$ è $\left({4\atop 2}\right)(2^{4}) =96$.

(f)

Il numero di sottinsiemi di $X$ che non sono disgiunti da $A$ è $2^{8}-2^{4}=240$

1.9

Sia $f: \{1,2,3,4,5,6,7,8\}\rightarrow \{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$ una funzione iniettiva.

(a)

$\vert f^{-1}(0)\vert\in \{0,1\}$ infatti se $0\in Im(f)$, allora essendo $f$ iniettiva si ha $\vert f^{-1}(0)\vert=1$ altrimenti $\vert f^{-1}(0)\vert=0$.

(b)

Analogamente ad (a) $\vert f^{-1}(\{0,8\})\vert\in \{1,2\}$.

(c)

Le $f$ iniettive che si possono costruire tra questi due insiemi sono $\frac{9!}{(9-8)!}=9!$

(d)

Le $f$ iniettive che si possono costruire con la proprietà che $f(1)=3$ sono tante quante le funzioni iniettive da un insieme di cardinalità 7 ad uno di cardinalità 8, dato che l'immagine di un punto è fissata, dunque sono $\frac{8!}{(8-7)!}=8!$

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