Dimostrazione.
1. Se (n,m)=1 allora esistono
tali che 1=nx+mye quindi q=nqx+mqy. Ma allora se
esiste h tale che
mq=nh e quindi
q=nqx+nhy=n(qx+hy).
2.
quindi q=nh, dato che
e (n,m)=1allora per la 1 si ha che
ossia h=km e quindi
q=nh=nmk, ovvero
.
Dimostrazione.
Supponiamo che
,
dato che p è primo, se
allora (p,n)=1, per lo proposizione precedente si
ha allora che
.
Viceversa supponiamo che per ogni
si ha che
oppure
,
allora se p=dh allora
e quindi
,
e quindi per 9.3 si
ha che
e
oppure
e quindi
e
.
Dimostrazione.
Sia
dove si è posto n=n'(n,m) e
m=m'(n,m). Chiaramente allora
M=n m'=n' m e quindi
e
.
Se
e
allora
e quindi
posto c=c'(n,m) si ha che
e
.
Dato
che (n',m')=1, per 10.1 si ha che
e
quindi che
.
Dimostrazione.
Procediamo per induzione su n. Se n=2 non c'è nulla da
dimostrare in quanto 2 è primo. Supponiamo n>2 e che la tesi sia
vera per ogni k<n. Se n è primo non c'è nulla da dimostrare,
se n non è primo allora esistono due numeri d1d2 con
1<d1,d2<n tali che n=d1d2. Per ipotesi di induzione esistono
dei primi positivi pi e qj tali che
e
,
ma allora
è prodotto di primi positivi.
Unicità. Sia
con pi e qj primi
positivi e
.
Procediamo per induzione su k. Se k=1 allora
,
quindi
per ogni j, e dato che
p1 è primo ogni qj=1 oppure qj=p1. Poiché per ipotesi
ogni qj>1 allora qj=p1 per ogni j. Se ora fosse h>1 si
avrebbe
e questo è assurdo, e
quindi h=1 e q1=p1.
Sia k>1, allora
,
quindi per l'esercizio
10.1 esiste un j tale che
.
Dato che sia pkche qj sono primi positivi, allora pk=qj. Ma allora
,
per ipotesi di induzione
possiamo allora dire che le due fattorizzazioni hanno lo stesso numero
di elementi, ossia k-1=h-1, e che esiste una bigezione
tale che
per ogni i. Definendo allora
Dimostrazione.
Per assurdo supponiamo che
siano tutti
iprimi. Si consideri
.
Chiaramente n>1 e non
è divisibile per nessun pi e quindi n sarebbe un numero
maggiore di 1 che non è divisibile per nessun primo e ciò
contraddice il teorema fondamentale dell'aritmetica.