Dim.
Supponiamo che
abbia molteplicità
e proviamo che
allora è radice di tutte le derivate fino all'ordine m-1. Procediamo per
induzione su m. Se m=1 la tesi è data dal teorema di
Ruffini. Supponiamo la tesi vera per
m. Sia quindi
,
ovvero
allora
derivando si ottiene
Viceversa. Procediamo per induzione su m. Per m=1 la tesi è
ovvia. Supponiamo la tesi vera per .
Sia P un polinomio e sia
tale che
Sia
una successione, diremo che x risolve una equazione
ricorsiva, se ogni elemento è funzione dei precedenti, in simboli se
esistono delle funzioni
tali che
Supponendo di avere date le equazioni ricorsive, il problema di ricavare informazioni sulle successioni che le risolvono non è in generale di facile soluzione. Analizzeremo un caso di equazioni ricorsive di tipo particolare, per le quali si riescono a determinare esplicitamente tutte le soluzioni.
Considereremo equazioni ricorsive che hanno storia finita ovvero per le
quali esiste un
tale che ogni termine è funzione soltanto dei kprecedenti (i.e. le fn hanno come dominio tutte
)
e in cui le fnsono tutte uguali e lineari, ossia equazioni del tipo
Anche se nella pratica le equazioni ricorsive che si incontrano sono definite sui numeri reali (si pensi al calcolo della complessità di un algoritmo, ossia il numero di passi necessario per ottenere l'output in funzione dell'input), può essere comodo ambientare il problema nel campo dei numeri complessi. Nel seguito denoteremo con un campo che può essere o quello dei numeri reali o quello dei numeri complessi.
Supponiamo allora di avere fissata l'equazione ricorsiva (27), ossia
di aver fissati
e di cercare le successioni
che verificano la (27). Sia
Dim.
Siano
allora per ogni n si ha
e
sommando membro a membro si
ha allora che