Lezione 24 (10 maggio 1999 h. 9.30-10.30)

Definizione di reticolo

Definizione 24.1   Sia $(L,\le)$ un insieme parzialmente ordinato. Diremo che $(L,\le)$ è un reticolo se per ogni $x,y\in L$ l'insieme $\{x,y\}$ ha estremo inferiore ed estremo superiore. Per ogni $x,y\in L$ si denota $x\vee y=\sup\{x,y\}$ e $x\wedge y=\inf\{x,y\}$.

Osservazione 24.2   Dalle definizioni e dall'unicità di estremo inferiore ed estremo superiore si ha immediatamente che $x\vee y$ è caratterizzato da:

1.

$x \le x \vee y$ e $y \le x \vee y$;

2.

se $x \le z$ e $y \le z$ allora $x \vee y \le z$.

e $x \wedge y$ è caratterizzato da:

1.

$x \wedge y \le x$ e $x \wedge y \le y$;

2.

se $z \le x$ e $z \le y$ allora $z \le x \wedge y$.

Esempio 24.3   $({\cal P}(X),\subseteq)$ è un reticolo. Infatti se $A,B\in{\cal P}(X)$ allora

$$\begin{array}{c} A\cap B \subseteq A \hbox{\rm { e }} A\cap ... ... e }} C\subseteq B \Rightarrow C\subseteq A\cap B \end{array}$$

e quindi $A\wedge B=A\cap B$. Analogamente

$$\begin{array}{c} A \subseteq A\cup B \hbox{\rm { e }} B \sub... ...e }} B \subseteq C \Rightarrow A\cup B\subseteq C \end{array}$$

e quindi $A\vee B=A\cup B$.

$(\mathbb N,\big\vert)$ è un reticolo.

Gli anelli booleani sono reticoli.

Proposizione 24.4   Sia R un anello booleano e sia $\le$ il suo ordinamento. Allora $(R,\le)$ è un reticolo.

Dim.  Siano $a,b\in R$ allora, usando l'associatività del prodotto e la commutatività degli anelli booleani,

$$\begin{array}{rclcl} (ab)a &= &a^2 b = ab &\iff &ab \le a \\ (ab)b &= &a b^2 = ab &\iff &ab \le b \end{array}$$

inoltre sia $c\le a$ e $c\le b$, ovvero ca=c e cb=c si ha

$$(ab)c=a(bc)=ac=c \iff c\le ab.$$

Quindi, per quanto osservato sopra si ha che $ab =a \wedge b$.

Proviamo ora che $a+b+ab = a \vee b$, infatti, usando nuovamente la commutatività il fatto che $\mathop{\rm char}\nolimits R=2$, si ha

$$\begin{array}{rclcl} a(a+b+ab) &= &a^2 + ab +a^2 b =a +ab +a... ...a + b^2 +a b^2 =b +ab +ab =b &\iff &b \le a + b +ab \end{array}$$

inoltre se $a\le c$ e $b\le c$ allora

$$(a+b+ab)c=ac+bc+abc=a+b + ab \iff a+b+ab\le c$$

e quindi la tesi.

Diamo un'altra dimostrazione, Consideriamo il morfismo $\varepsilon$ di rappresentazione. Dal fatto che $\varepsilon$ è un morfismo di anelli si ha che

$$\begin{array}{rcl} \varepsilon(ab) & = & \varepsilon(a)\cap\... ...\varepsilon(b))= \varepsilon(a)\cup\varepsilon(b). \end{array}$$

Dato che $\varepsilon(a)\cap\varepsilon(b)$ e $\varepsilon(a)\cup\varepsilon(b)$ sono l'estremo inferiore e superiore rispetto a $\subseteq$ e poiché per ogni $x,y\in R$ si ha che $x\le y\iff \varepsilon(x)\subseteq \varepsilon(y)$ (si veda la seconda dimostrazione della proposizione 23.4), allora ab e a+b+ab sono l'estremo inferiore e superiore rispetto a $\le$.     $\square$

Principio di dualità dei reticoli

Osservazione 24.5   Sia $(L,\le)$ un reticolo e sia $\ge$ l'ordinamento inverso. Allora $(L,\ge)$ è un reticolo e

$$\begin{eqnarray*}x \vee_\ge y & = & x \wedge_\le y \\ x \wedge_\ge y & = & x \vee_\le y \end{eqnarray*}$$

Ciò segue immediatamente dalle caratterrizzazioni di estremo inferiore ed estremo superiore dalle quali si vede immediatamente che le proprietà che definiscono l'estremo inferiore rispetto a $\le$ sono quelle che definiscono l'estremo superiore rispetto a $\ge$ e viceversa.

Sia P una proposizione enunciata in termini di $\le$, $\vee$ e $\wedge$indichiamo con P^* la proposizione duale ossia la proposizione ottenuta da P scambiando $\vee$ con $\wedge$ e $\le$ con $\ge$.

Teorema 24.6 (principio di dualità)   Sia P una proposizione enunciata in termini di $\le$, $\vee$ e $\wedge$ e si supponga che in ogni reticolo P sia vera. Allora anche P^* è vera in ogni reticolo.

Dim.  Sia $(L,\le)$ un reticolo, allora si consideri il reticolo inverso, ossia $(L,\ge)$. Dato che P vale in ogni reticolo, allora vale in $(L,\ge)$. Ma, alla luce di quanto osservato sopra, la proposizione P ``valutata'' in $(L,\ge)$ altro non è che la proposizione P^* valutata in $(L,\le)$.     $\square$

Prime proprietà dei reticoli

Proposizione 24.7   Sia $(L,\le)$ un reticolo, allora per ogni $x,y,z\in L$ si ha:

1.	$x \vee y = y \vee x$		$x \wedge y = y \wedge x$
2.	$(x \vee y)\vee z=x\vee(y\vee z)$		$(x\wedge y)\wedge z =x\wedge(y\wedge z)$
3.	$x\vee(x\wedge y)=x$		$x\wedge(x\vee y)=x$

Le proprietà del punto (3) vengono chiamate proprietà di assorbimento.

Dim.  Osserviamo che le asserzioni di ogni riga sono duali una dell'altra, sarà quindi sufficiente, per il principio di dualità, dimostrarne una di ogni riga.

Le (1) sono immediate dalla definizione di estremo superiore e inferiore.

Dimostriamo la prima delle (2). Osserviamo innanzitutto che, dalla prima delle proprietà che caratterizzano $\vee$ si ha $y \le x\vee y\le (x\vee y)\vee z$ e $z\le(x\vee y)\vee z$. Da queste due relazioni, per la seconda delle proprietà caratterizzanti $\vee$, segue allora che $y\vee z \le (x\vee y)\vee z$. D'altra parte anche $x\le x\vee y \le (x\vee y)\vee z$, quindi $x\vee (y\vee z)\le (x\vee y)\vee z$. In modo analogo si prova che anche $(x\vee y)\vee z\le x\vee (y\vee z)$ da cui segue la tesi per la antisimmetria di $\le$.

Dimostriamo la prima delle (3). $x \le x$ e $x \wedge y \le x$, quindi $x\vee(x \wedge y)\le x$. D,altra parte $x \le x\vee(x\wedge y)$ e quindi, per la antisimmetria si ha che $x = x\vee(x\wedge y)$,     $\square$

Esercizio 24.1      Sia $(L,\le)$ un reticolo, allora per ogni $x,y\in L$

$$x \le y \iff x = x \wedge y \iff y = x \vee y.$$

Soluzione