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Definizione 22.1
Sia
R un anello con identità, si dice che
R è un
anello booleano,
o anche
anello di Boole, se
Esempio 22.2

è un anello booleano, infatti 0
2=0 e 1
2=1 e
0 e 1 sono gli unici elementi di

.
Esempio 22.3
Sia
X un insieme, l'anello

è un anello booleano.
Infatti

per ogni

.
Esercizio 22.1
Si provi che se
R è un anello booleano e
X è un insieme, allora
RX è un anello booleano.
Soluzione
Esercizio 22.2
Sia
X un insieme, si provi che l'anello

è
isomorfo a

.
Soluzione
Dim.
(1). Sia
allora
a=a2=(-a)2=-a, quindi a+a=0. In particolare
1+1=0, ossia
.
(2). Siano
allora,
a+b=(a+b)2=a2+ab+ba+b2 = a + ab + ba + b
da cui si ricava che
ab + ba = 0 e quindi ab = -ba. Per quanto visto al
punto precedente -ba=ba e quindi ab = ba.
Esercizio 22.3
Sia
R un anello booleano. Si provi che l'unico elemento invertibile di
R è 1.
Soluzione
Esercizio 22.4
Sia

un anello booleano, si provi che anche

è un anello booleano, essendo
Soluzione
Definizione 22.5
Sia
R un anello commutativo con identità, diremo che un ideale

è
massimale se

e gli unici ideali
I tali
che

sono
I e
R. In simboli
Proposizione 22.6
Sia
R un anello commutativo con identità e

un ideale.

è un campo se e solo se
M è massimale.
Dim.
Supponiamo che M sia massimale e sia
diverso da
0+M ossia
.
Consideriamo l'insieme
I è un ideale (si vedano gli esercizi 15.3, 15.4 e 15.5),
e
quindi
,
per la massimalità di M allora I=R e quindi
,
ossia esiste
e
tale che 1= ax + m ossia ax+M=1+M e
pertanto
(a+M)(x+M)=1+M, ovvero a+M è invertibile.
Supponiamo ora che
sia un campo. Sia
un
ideale, e sia
.
Dato che
e
è un campo, allora esiste x+M tale che
(a+M)(x+M)=1+M ossia tale che
.
Ma allorea esiste un
tale che ax-1=m e quindi
1=m-ax. Ora,
,
e quindi
,
per cui
.
Da ciò segue che I=R e quindi M è massimale.
Vale il seguente teorema di cui omettiamo la dimostrazione:
Teorema 22.7
Sia
R un anello e sia

un elemento non invertibile. Allora esiste un
ideale massimale di
R che contiene
r.
Lemma 22.8
Sia
R un anello booleano e sia

un ideale massimale. Allora
per ogni

si ha
- 1.
-

- 2.
-

Dim.
Sia
la proiezione a quoziente, allora per ogni
si ha a2-a=0 e quindi
,
ossia
per ogni
si ha A2-A=0 ossia A(A-1)=0. Ma ora, dato
che M è massimale,
è un campo, in particolare è un dominio di
integrità e
pertanto da A(A-1)=0 si deduce che A=0 oppure A=1.
ha solo i due elementi 0+M e 1+M, è quindi isomorfo a
,
e quindi per ogni
si ha:
che possono essere riscritte
Ma allora la tesi si ottiene prendendo A = r + M e A'=r'+M e ricordando
che per ogni
si ha r+M=0+M se e solo se
.
Indichiamo con
l'insieme degli ideali massimali di R e consideriamo
l'applicazione
definita da:
 |
(28) |
Teorema 22.9 (di rappresentazione)
Sia
R un anello booleano. Allora l'applicazione
definita
sopra è un morfismo iniettivo di anelli con identità.
Se
R è finito,

è anche surgettiva, e quindi un isomorfismo.
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Domenico Luminati
1999-07-08